(الف-۱۷)
تقریب مرتبه اول تیلور برای معادله بالا به صورت زیر بدست می ­آید:

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

(الف-۱۸)
توجه شود که مدل اکنون بر حسب  خطی است چرا که  ،  ،  ،  ،  و  همگی ثابت هستند. با توجه به این که شکل لگاریتمی معادله فوق در وضعیت پایدار برقرار است، می­توان عبارت تقریب زده شده را ساده­تر نوشت:
(الف-۱۹)
فرض تلویحی که در نظر می­گیریم این است که به اندازه کافی نزدیک وضعیت پایدار باقی می­مانیم که بتوان از بسط تیلور مرتبه ۲ و بالاتر صرف­نظر کرد.
پیوست ب
مدل­های حالت فضا و فیلتر کالمن
ب-۱- مدل­های حالت فضا و فیلتر کالمن^[۳۵۱]
مدل­های حالت- فضا مدل­هایی هستند که در آن­ها یک بخش قابل مشاهده و بخش دیگر غیرقابل مشاهده است. مدل­های حالت- فضا برای تمامی مدل­ها قابل بحث است. مدل­های DSGE در حالت کلی یک مدل حالت- فضا یا فیلتر کالمن هستند. به دلیل اینکه اولاً عبارت­های انتظاری می­توانند غیرقابل مشاهده باشند و ثانیاً برخی از متغیرهای توضیحی نیز می­توانند غیرقابل مشاهده باشند مثل موجودی سرمایه^[۳۵۲].
فیلتر کالمن دو مرحله دارد:

1. 1. پیش ­بینی؛

1. 1. بهنگام­سازی.

هدف در اینجا تخمین یک فیلتر کالمن به دو روش بیزین و حداکثر راستنمایی است.
برخی نویسندگان، معرفی فیلتر کالمن ^[۳۵۳](KF) توسط ریچارد کالمن^[۳۵۴] را در سال ۱۹۶۰، یکی از بزرگ‌ترین یافته‌ها در تاریخ تئوری‌های برآورد آماری در قرن بیستم می‌دانند. از آن زمان تاکنون فیلتر کالمن در زمینه‌های بسیاری، از جمله در کنترل و پیش‌بینی سیستم­های دینامیکی کاربرد داشته است. همچنین از فیلتر کالمن برای محاسبه­ی دقیق و پیش‌بینی نمونه‌هایی با حجم محدود مدل­های تک متغیره و چند متغیره، مدل­های انتقال مارکف^[۳۵۵] و مدل­های با ضرایب متغیر^[۳۵۶] و … استفاده می‌شود.
به طور خلاصه فیلتر کالمن یک الگوریتم برگشتی^[۳۵۷] پردازش داده است، که حالت^[۳۵۸] یک سیستم دینامیک خطی آشوبناک^[۳۵۹] را برآورد می‌کند. وقتی در مورد حالت یک سیستم صحبت می‌کنیم، منظور یک بردار n عضوی از متغیرها است که بعضی از خواص مورد نظر یک سیستم را توصیف می‌کند.
سیستم­های پویا را معمولاً می‌توان به صورت حالت- فضا نمایش داد. دو مزیت مهم در ارائه­ یک سیستم پویا بدین شکل وجود دارد. اول اینکه مدل حالت- فضا این امکان را می‌دهد که متغیرهای غیرقابل مشاهده که به متغیرهای حالت معروف هستند را در مدل وارد کرد و آن مدل را برآورد نمود. مزیت دوم اینکه مدل­های حالت- فضا با یک الگوریتم برگشتی به نام فیلتر کالمن برآورد می‌شوند. مدل­های حالت فضا را می­توان در قالب مدل­هایی پارامتر متغیر در طول زمان نیز ارائه نمود. حالت- فضا در ادبیات اقتصادسنجی در مدل­سازی متغیرهای غیرقابل مشاهده مثل انتظارات عقلائی، خطاهای اندازه‌گیری، درآمد دائمی، مؤلفه‌های غیرقابل مشاهده­ دوره‌ای و روند نرخ بیکاری طبیعی و … نیز بکار می‌رود.
برای معرفی مدل­های حالت- فضا سیستم معادلات زیر را در نظر بگیرید:
(ب-۱)
(ب-۲)
که در آن  یک بردار (  ) از متغیرهای مشاهده شده در زمان  و  بردار (  ) از متغیرهای غیرقابل مشاهده که به بردار حالت معروف است، می­باشند.  ،  و  ماتریس­ پارامترها به ترتیب با ابعاد (  )،  و  هستند و  بردار متغیرهای برو نزا یا از قبل تعیین شده می­باشد. معادله­ اول به معادله حالت یا انتقال و معادله­ دوم به معادله­ مشاهدات یا اندازه‌گیری معروف است.  بردار (  ) و  بردار (  )، بردار نوفه سفید هستند، به طوری­ که:
(ب-۳)
(ب-۴)
که در آن  و  به ترتیب ماتریس­هایی به ابعاد (  ) و (  ) هستند. توزیع­های  و  در تمام وقفه­های زمانی غیر همبسته است یعنی:
(ب-۵)
همچنین فرض می‌شود که  با مقادیر تحقق یافته  و  نا همبسته ‌است، یعنی:
(ب-۶)
(ب-۷)
با توجه به معادله حالت (ب-۱) می‌توان  را به صورت ترکیب خطی از (  ) نوشت:
(ب-۸)
بنابراین از معادله (ب-۶) و (ب-۳) نتیجه می‌شود که  با تأخیرهای زمانی  با همبسته است؛ یعنی:
(ب-۹)
به طور مشابه داریم:
(ب-۱۰)
(ب-۱۱)
(ب-۱۲)
ب-۲- فروض فیلتر کالمن
ب-۲-۱- سیستم دینامیک خطی^[۳۶۰]
فیلتر کالمن فرض می‌کند که حالت سیستم و اندازه‌گیری‌ها با یک سیستم پویای خطی توضیح داده می‌شوند و چنانچه مسئله غیرخطی بود با تکنیک‌های خطی سازی، آن ­را خطی می‌کنیم. معادله­ حالت توضیح می‌دهد که حالت درست سیستم طی زمان چگونه نمو پیدا می‌کند. در فیلتر کالمن فرض می­ شود حالت سیستم طبق یک معادله­ خطی مثل معادله (ب-۱) نمو پیدا می‌کند که در آن، حالت یک سیستم،  ، در زمان  بستگی به حالت آن در یک دوره­ قبل،  و جمله­ اختلال  دارد. در معادله­ اندازه‌گیری^[۳۶۱]  ، مشاهدات در زمان  به صورت خطی به حالت سیستم  بستگی دارد.
در معادله­ (ب-۱) حالت  در زمان  به دیگر حالت‌ها و اندازه‌گیری‌ها، با فرض اینکه  داده شده، بستگی ندارد. همچنین در معادله (ب-۳) اندازه­  با فرض اینکه  داده شده است، بستگی به دیگر حالت‌ها و اندازه‌گیری‌ها ندارد.
ب-۲-۲- مشخصات آشوب^[۳۶۲]
فیلتر کالمن فرض می‌کند که جزء اخلال در معادله­ حالت و معادله­ مشاهدات سیستم همگی متغیرهای مستقل، با میانگین صفر، نوفه سفید و دارای توزیع احتمالی نرمال هستند. علاوه بر این فرض می‌شود که حالت اولیه سیستم در زمان  مستقل و دارای توزیع نرمال است.
چند مثال از ارائه یک سیستم پویا به صورت حالت- فضا
مثال اول- یک فرایند  تک متغیره ذیل را در نظر بگیرید:

این فرایند را می‌توان به صورت مدل حالت- فضای زیر نوشت:
معادله حالت (  ):

معادله مشاهدات (  ):

در این فرایند داریم:
،  ،
،  ،  ،  ،  ،  و